Deriválás kalkulátor lépésről lépésre

A deriválás kalkulátor (angolul derivative calculator) egy egyváltozós függvény deriváltját számolja ki szimbolikusan, vagyis képletként, nem csak egy pontban. Az első mellett a második és a harmadik deriváltat is megadja, ami szélsőérték- és inflexiós pont-kereséshez kell.

Az eredmény mellett a deriválás lépései is megjelennek: melyik szabályt alkalmaztuk (összeg, szorzat, hányados, láncszabály), és mi lett a részek deriváltja. Így nem csak a végeredményt látod, hanem azt is, hogyan jön ki, ami házi feladatnál és vizsgára készülésnél a legfontosabb.

Minden eredményt numerikusan is ellenőrzünk: néhány pontban összevetjük a kapott deriváltat a függvény meredekségével. Ha egyeznek, az eredmény mellett megjelenik a „Numerikusan ellenőrizve” jelzés.

A beviteli mező a szokásos, „kézzel írt” jelöléseket is megérti:

Amit írni szeretnél	Így írd be
x négyzet	x^2 vagy x²
négyzetgyök	sqrt(x) vagy √x
természetes logaritmus	ln(x)
tízes alapú logaritmus	lg(x)
e az x-ediken	e^x vagy exp(x)
tangens, kotangens	tg(x), ctg(x) vagy tan(x), cot(x)
arkusz tangens	arctg(x)
szorzás	2x, 3*x vagy x·sin(x)
szinusz négyzet	sin(x)^2 vagy sin^2(x)

Tizedesvesszőt is használhatsz (2,5x). Az állandók: pi és e. A változó neve x; ha más betű is szerepel a képletben, a kalkulátor szól, mert azt nem tudja értelmezni.

A deriválás néhány alapszabályból és az alapfüggvények deriváltjaiból áll össze.

• Összeg: (u ± v)′ = u′ ± v′
• Konstansszoros: (c·u)′ = c·u′
• Szorzat: (u·v)′ = u′·v + u·v′
• Hányados: (u / v)′ = (u′·v − u·v′) / v²
• Láncszabály (összetett függvény): (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)

Az alapfüggvények deriváltjai:

f(x)	f′(x)
xⁿ	n·xⁿ⁻¹
eˣ	eˣ
aˣ	aˣ·ln a
ln x	1/x
sin x	cos x
cos x	−sin x
tg x	1/cos² x
arctg x	1/(1 + x²)
√x	1/(2√x)

1. Szorzat: f(x) = x²·sin x. Legyen u = x² és v = sin x. Ekkor u′ = 2x és v′ = cos x, így a szorzatszabály szerint:

f′(x) = 2x·sin x + x²·cos x.

2. Hányados: f(x) = ln x / x. Itt u = ln x, u′ = 1/x, v = x, v′ = 1. A hányadosszabállyal:

f′(x) = ((1/x)·x − ln x·1) / x² = (1 − ln x) / x².

3. Láncszabály: f(x) = sin(x² + 1). A külső függvény a szinusz, a belső u = x² + 1, amelynek deriváltja 2x:

f′(x) = cos(x² + 1)·2x.

4. Magasabb rendű derivált: f(x) = x⁴. f′(x) = 4x³, f″(x) = 12x², f‴(x) = 24x.

5. Érintő egyenlete: f(x) = x³ − 2x + 1 az x = 1 pontban. f(1) = 0, f′(x) = 3x² − 2, így f′(1) = 1. Az érintő meredeksége 1, átmegy az (1; 0) ponton, tehát az egyenlete y = x − 1.

A derivált a függvény pillanatnyi változási sebessége, a grafikon érintőjének meredeksége. Ebből sok minden következik:

• Szélsőérték: ahol f′(x) = 0, ott lehet minimum vagy maximum. A második derivált előjele dönt: ha pozitív, minimum, ha negatív, maximum.
• Monotonitás: ahol f′(x) > 0, ott a függvény nő, ahol f′(x) < 0, ott csökken.
• Konvexitás és inflexiós pont: a második derivált előjelváltása jelzi, hol vált a görbe homorúból domborúba.
• Fizika: az út idő szerinti deriváltja a sebesség, a sebességé a gyorsulás.
• Közgazdaságtan: a költségfüggvény deriváltja a határköltség.

• A láncszabály elfelejtése: sin(2x) deriváltja nem cos(2x), hanem 2·cos(2x).
• A szorzat tagonkénti deriválása: (x²·sin x)′ nem 2x·cos x. A szorzatnál mindkét tagot meg kell tartani.
• Előjelhiba a hányadosnál: a számlálóban u′·v − u·v′ a sorrend, nem fordítva.
• A konstans deriváltja: egy szám deriváltja 0, de a konstansszoros (például 5x) deriváltja 5.
• Az xˣ típusú függvények: itt sem a hatvány-, sem az exponenciális szabály nem jó önmagában. Logaritmikus deriválás kell, az eredmény xˣ·(ln x + 1).

Ha a kézi eredményed más alakú, mint a kalkulátoré, még lehet helyes: ugyanaz a függvény sokféleképpen felírható. Érdemes néhány x értéket behelyettesíteni mindkettőbe.