Másodfokú egyenlet megoldó online

A másodfokú egyenlet megoldó (angolul quadratic equation solver) az ax² + bx + c = 0 alakú egyenletek gyökeit számolja ki. Két valós gyököt, egy kétszeres gyököt vagy – ha a valós számok között nincs megoldás – a két komplex gyököt adja meg. Ha a = 0, jelzi, hogy az egyenlet valójában elsőfokú, és azt oldja meg.

Az eredmény mellett kiírja a diszkriminánst, a parabola csúcspontját, a nyílás irányát és két valós gyök esetén a gyöktényezős alakot. Így házi feladatnál, dolgozatra készülésnél vagy egy mérnöki számítás ellenőrzésénél is használható.

A másodfokú egyenlet megoldóképlete:

x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

A gyökjel alatti kifejezés a diszkrimináns: D = b² − 4ac. Ez dönti el, hány valós megoldás van:

Diszkrimináns	Megoldások
D > 0	két különböző valós gyök
D = 0	egy (kétszeres) valós gyök: x = −b / 2a
D < 0	nincs valós gyök, két komplex konjugált gyök

A kalkulátor nagy együtthatóknál is pontos marad: a két gyököt numerikusan stabil módon számolja, így nem veszít pontosságot, ha b² sokkal nagyobb, mint 4ac.

Oldjuk meg: x² − 5x + 6 = 0.

1. Az együtthatók: a = 1, b = −5, c = 6.
2. Diszkrimináns: D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1.
3. √D = 1.
4. x₁ = (5 − 1) / 2 = 2, x₂ = (5 + 1) / 2 = 3.
5. Gyöktényezős alak: (x − 2)(x − 3) = 0.

Ellenőrzés a Viète-formulákkal: a gyökök összege −b/a = 5 (2 + 3 = 5), szorzata c/a = 6 (2 · 3 = 6).

A parabola csúcspontja: x = −b / 2a = 2,5, y = c − b² / 4a = 6 − 6,25 = −0,25. Mivel a > 0, a parabola felfelé nyílik, a csúcspont a minimumhely.

Az x² + 2x + 5 = 0 egyenletnél D = 4 − 20 = −16, tehát a valós számok között nincs megoldás: a parabola nem metszi az x tengelyt. A komplex számok körében viszont van két gyök:

x₁,₂ = (−2 ± 4i) / 2 = −1 ± 2i.

Középiskolában általában elég annyit írni, hogy „nincs valós megoldás”; a komplex gyökök felsőbb matematikában és a mérnöki gyakorlatban (például rezgéseknél) fontosak.

• Nincs nullára rendezve: a 2x² = 3x − 1 egyenletből előbb 2x² − 3x + 1 = 0 legyen, csak utána olvasd ki az a, b, c értékét.
• Elhagyott előjel: az x² − 5x + 6 egyenletben b = −5, nem 5. A kalkulátor a beírt egyenletet visszaírja, így azonnal látod, ha elírtál valamit.
• Hiányzó tag: ha nincs x-es tag, b = 0 (például 2x² − 8 = 0 megoldása ±2); ha nincs konstans, c = 0, és az egyik gyök biztosan 0.
• Közös tényező: ha mindhárom együttható osztható ugyanazzal a számmal, egyszerűsíthetsz, a gyökök nem változnak.

Szöveges feladatnál nézd meg, mindkét gyök értelmes-e: egy hosszúság vagy idő például nem lehet negatív.

A másodfokú egyenlet nem csak tankönyvi feladat. Néhány gyakorlati példa:

• Terület: egy téglalap alakú telek területe 600 m², az egyik oldala 10 méterrel hosszabb a másiknál. Az x(x + 10) = 600 egyenletből x² + 10x − 600 = 0, a megoldás x = 20 m (a negatív gyök itt nem értelmes), tehát a telek 20 × 30 méteres.
• Ferde hajítás: egy feldobott labda magassága az idő másodfokú függvénye; az egyenlet megmutatja, mikor ér földet.
• Fékút: a megállási út a sebesség négyzetével nő, ezért egy adott fékúthoz tartozó sebesség kiszámítása is másodfokú egyenlethez vezet.
• Gazdaság: ha a bevétel és a költség is a darabszám függvénye, a nyereség nullpontjai (fedezeti pontok) gyakran másodfokú egyenlet gyökei.

Ilyen feladatoknál a szöveget előbb egyenletté kell alakítani, nullára rendezni, és csak utána írd be az együtthatókat. A kalkulátor mindkét gyököt megadja; hogy melyik a feladat megoldása, azt a szövegből kell eldönteni.