Hogyan használd?
- Válaszd ki, határozatlan vagy határozott integrált számolsz.
- Írd be a függvényt, például x*e^x vagy sin(x)^2.
- Határozott integrálnál add meg az alsó és a felső határt (például 0 és pi).
- Kattints az integrálásra, és olvasd le az eredményt.
- Nézd meg az ellenőrzést: a primitív függvény deriváltja visszaadja-e az eredeti függvényt.
Mit számol az integrál kalkulátor?
Az integrál kalkulátor (angolul integral calculator) kétféle feladatot old meg.
- Határozatlan integrál: megkeresi az F(x) primitív függvényt, amelynek deriváltja az eredeti f(x). Az eredményhez mindig hozzá kell írni a + C konstanst.
- Határozott integrál: kiszámolja az f(x) görbe alatti előjeles területet két határ között.
A primitív függvényt szimbolikus motor keresi meg. Minden talált eredményt visszaderiválunk és néhány pontban összevetünk az eredeti függvénnyel. Csak akkor mutatjuk meg, ha az ellenőrzés sikeres. Ha a motor nem talál primitív függvényt, ezt őszintén megmondjuk, a határozott integrált pedig ilyenkor is kiszámoljuk numerikusan.
Határozatlan és határozott integrál
A határozatlan integrál egy függvénycsalád: ha F(x) primitív függvény, akkor F(x) + 5 vagy F(x) − 2 is az, hiszen a konstans deriváltja 0. Ezért írjuk: ∫ f(x) dx = F(x) + C.
A határozott integrál egy szám. A Newton–Leibniz-formula szerint:
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
Ahol a függvény negatív, ott a terület negatív előjellel számít. Ha a valódi (abszolút) területre vagy kíváncsi, a zérushelyeknél részekre kell bontani az intervallumot.
Ha a primitív függvény nem írható fel elemi függvényekkel (például e^(−x²) vagy xˣ esetén), a határozott integrált adaptív Simpson-módszerrel számoljuk: a program addig finomítja a felosztást, amíg a becsült hiba elég kicsi nem lesz.
Alapintegrálok táblázata
| f(x) | ∫ f(x) dx |
|---|---|
| xⁿ (n ≠ −1) | xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ / ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos² x | tg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
A logaritmusnál az abszolút érték azért kell, mert az ln csak pozitív számokra értelmezett. A kalkulátor az eredményben ln(x) alakot ír, ezt negatív argumentumnál ln|x|-ként értsd.
Kidolgozott példák
1. Parciális integrálás: ∫ x·eˣ dx. Legyen u = x, v′ = eˣ. Ekkor ∫ x·eˣ dx = x·eˣ − ∫ eˣ dx = eˣ·(x − 1) + C. Ellenőrzés: (eˣ·(x − 1))′ = eˣ·(x − 1) + eˣ = x·eˣ.
2. Trigonometrikus azonosság: ∫ sin² x dx. A sin² x = (1 − cos 2x)/2 azonossággal: ∫ sin² x dx = x/2 − sin(2x)/4 + C.
3. Helyettesítés: ∫ 2x·cos(x²) dx. Legyen t = x², ekkor dt = 2x dx, és az integrál ∫ cos t dt = sin t + C = sin(x²) + C.
4. Parciális törtek: ∫ 1/(x² − 1) dx. Mivel 1/(x² − 1) = ½·(1/(x − 1) − 1/(x + 1)), az eredmény ½·ln|x − 1| − ½·ln|x + 1| + C.
5. Határozott integrálok:
| Integrál | Érték |
|---|---|
| ∫₀³ x² dx | 3³/3 − 0 = 9 |
| ∫₀^π sin x dx | −cos π + cos 0 = 2 |
| ∫₁^e 1/x dx | ln e − ln 1 = 1 |
| ∫₋₁¹ e^(−x²) dx | ≈ 1,4936482656 (csak numerikusan) |
Integrálási módszerek röviden
- Alapintegrálok és linearitás: az összeg integrálja az integrálok összege, a konstans szorzó kiemelhető.
- Helyettesítés: ha a függvényben egy belső kifejezés és annak deriváltja is szerepel, például 2x·cos(x²).
- Parciális integrálás: ∫ u·v′ = u·v − ∫ u′·v, szorzatoknál, például x·eˣ, x·sin x vagy ln x esetén.
- Parciális törtekre bontás: racionális törtfüggvényeknél, ha a nevező szorzattá bontható.
- Trigonometrikus azonosságok: sin² x, cos² x és hasonló hatványok átalakítására.
Vannak függvények, amelyeknek létezik ugyan primitív függvénye, de az nem írható fel elemi függvényekkel. Ilyen az e^(−x²) (ezt a kalkulátor az erf hibafüggvénnyel adja meg), a sin x / x vagy az xˣ. Ezeknél a határozott integrál numerikus értéke a használható eredmény.
Mire figyelj?
- A + C nem hiba, hanem kötelező: a határozatlan integrál mindig függvénycsalád.
- Szakadási hely az intervallumban: ∫₋₁¹ 1/x dx nem számolható ki a Newton–Leibniz-formulával, mert a függvény 0-ban nem értelmezett. A kalkulátor ilyenkor jelzi, hogy az integrál így nem számolható.
- Fordított határok: ha az alsó határ nagyobb a felsőnél, az eredmény előjelet vált.
- Más alakú eredmény: két primitív függvény konstansban eltérhet. Ha a kézi eredményed deriváltja az eredeti függvény, akkor az is jó.
Gyakori kérdések
Miért kell a + C?
Mert egy függvénynek végtelen sok primitív függvénye van, amelyek csak egy konstansban különböznek; a konstans deriváltja 0.
Mit jelent a negatív integrálérték?
Azt, hogy a függvény az intervallum nagyobb részén az x tengely alatt halad. A határozott integrál előjeles területet ad.
Mindig van zárt alakú megoldás?
Nem. Például az e^(−x²) vagy az xˣ primitív függvénye nem írható fel elemi függvényekkel. Ilyenkor a határozott integrált numerikusan számoljuk.
Mennyire pontos a numerikus érték?
Az adaptív Simpson-módszer jellemzően 10 tizedesjegy körüli pontosságot ad sima függvényeknél. Szakadásnál vagy nagyon gyorsan változó függvénynél pontatlanabb lehet.
Hogyan adjam meg a pi-t határnak?
Írd be: pi, pi/2 vagy 2*pi. Tizedes határ is megadható vesszővel, például 2,5.
Miért írja az eredményt ln(x) alakban ln|x| helyett?
A szimbolikus motor így adja meg. Ha az argumentum negatív is lehet, az abszolút értékes alakot használd; erre az eredmény alatt is figyelmeztetünk.
Utoljára módosítva: 2026. november 3.