Hogyan használd?
- Írd be az n értékét (0 és 5000 közötti egész szám).
- Olvasd le a pontos eredményt; hosszú számnál görgess.
- Másold ki az eredményt, vagy nézd meg a normál alakját.
Mi a faktoriális?
Egy n természetes szám faktoriálisa (jele: n!) az 1-től n-ig terjedő egész számok szorzata:
n! = 1 · 2 · 3 · … · n
Például 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. Megállapodás szerint 0! = 1, mert a nulla elem sorba rendezésére pontosan egy lehetőség van (az üres sorrend), és így a kombinatorikai képletek is egységesen működnek.
A faktoriális rendkívül gyorsan nő: 10! már 3 628 800, a 20! pedig 19 jegyű szám. A közönséges számológépek és táblázatkezelők 170! felett már csak „végtelent” vagy hibát írnak ki, és jóval előbb kerekítenek. Ez a faktoriális kalkulátor tetszőleges pontosságú egész aritmetikával dolgozik, így 5000!-ig minden számjegyet pontosan megad.
Faktoriálisok táblázata
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5 040 |
| 8 | 40 320 |
| 9 | 362 880 |
| 10 | 3 628 800 |
| 12 | 479 001 600 |
| 15 | 1 307 674 368 000 |
| 20 | 2 432 902 008 176 640 000 |
Látszik, hogy minden lépésben az előző értéket szorozzuk a következő egésszel: n! = n · (n − 1)!. Ez a rekurzív összefüggés a programozásban is klasszikus példa.
Mire használjuk a faktoriálist?
A faktoriális a kombinatorika alapja:
- Sorbarendezés (permutáció): n különböző elem n!-féleképpen rendezhető sorba. Egy 52 lapos kártyapakli 52! ≈ 8,07 · 10⁶⁷-féleképpen keverhető, ami több, mint ahány atom a Földön van.
- Kombináció: n elemből k-t n! / (k! (n − k)!)-féleképpen választhatunk ki. Ebből adódik a lottó esélye is.
- Variáció: a sorrendet is figyelembe vevő kiválasztás: n! / (n − k)!.
A valószínűségszámításban (például a Poisson- és a binomiális eloszlásban), a Taylor-sorokban (eˣ = Σ xⁿ / n!) és a számelméletben is folyton előkerül.
Hány nullára végződik n!?
A faktoriális végén álló nullák száma azt mutatja meg, hány 10-es (vagyis 2 · 5 szorzó) van benne. Mivel kettesből mindig több van, elég az ötös szorzókat megszámolni:
nullák száma = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …
Példa: 100!
- ⌊100/5⌋ = 20 (az 5-tel osztható számok).
- ⌊100/25⌋ = 4 (a 25-tel oszthatók még egy ötöst adnak).
- ⌊100/125⌋ = 0.
- Összesen 24 nulla.
A kalkulátor ezt a számot az eredmény mellett kiírja, így a képletet is ellenőrizheted. A 100! egyébként 158 jegyű szám.
Közelítés nagy n-re
Nagyon nagy n-nél a pontos érték helyett gyakran elég a nagyságrend. Erre szolgál a Stirling-formula:
n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ
Már n = 10-nél is 1%-on belül pontos (3 598 696 a valódi 3 628 800 helyett), és a hibája n növekedésével arányaiban egyre kisebb lesz. Statisztikában, fizikában (például a termodinamikában) ezt használják, mert a pontos faktoriális kiszámítása lassú és felesleges.
A kalkulátor a nagyon hosszú eredményeket normál alakban is megmutatja (például 100! ≈ 9,33262 · 10¹⁵⁷), így a nagyságrend azonnal látszik.
Gyakori kérdések és hibák
- Negatív szám vagy tört faktoriálisa: a hagyományos faktoriális csak nemnegatív egészekre értelmezett. Törtekre a gamma-függvény ad általánosítást (Γ(n + 1) = n!), ezt a kalkulátor nem számolja.
- 0! = 0? Nem, 0! = 1. Enélkül például a C(n, n) = 1 kombinációs képlet sem működne.
- Túlcsordulás programban: a 64 bites egész típusban legfeljebb 20! fér el; nagyobb értékekhez nagy egész (BigInt) típus kell, ahogy ez a kalkulátor is használja.
Gyakori kérdések
Mennyi 0 faktoriális?
0! = 1, megállapodás szerint; ez biztosítja, hogy a kombinatorikai képletek minden esetben működjenek.
Mennyi 10!?
10! = 3 628 800.
Mekkora számig számol?
5000!-ig, minden számjegyet pontosan; az 5000! több mint 16 000 jegyű.
Hány nullára végződik 100!?
24 nullára: ⌊100/5⌋ + ⌊100/25⌋ = 20 + 4.
Van negatív szám faktoriálisa?
A hagyományos értelemben nincs; törtekre és komplex számokra a gamma-függvény ad általánosítást.
Miért ír ki az Excel hibát nagy faktoriálisra?
Mert 170! felett a lebegőpontos szám túlcsordul; ez a kalkulátor pontos egész aritmetikát használ.
Utoljára módosítva: 2026. november 3.