Ívhossz számítás

Az ívhossz a kör kerületének egy darabja: a körív hossza két pont között, a középponti szög által kijelölt részen. Ha a teljes kör kerülete 2rπ, akkor egy α szögű ív ennek α/360 része.

Ez az ívhossz kalkulátor a sugárból és a középponti szögből egyszerre számolja ki:

• az ív hosszát;
• a körcikk területét (a „tortaszelet”);
• a húr hosszát (a két végpontot összekötő egyenes szakasz);
• a körszelet területét (a húr és az ív közötti rész);
• az ívmagasságot (nyílmagasság: a húr közepétől az ívig mért távolság).

A szöget fokban vagy radiánban is megadhatod.

A számítás akkor is hasznos, ha nem a teljes kört ismered, csak egy darabját. Iskolai feladatoknál általában a sugár és a szög adott, a gyakorlatban viszont sokszor a húrt (a nyílás szélességét) és az ívmagasságot tudod lemérni; ebből a lenti képlettel a sugár, majd a szög is meghatározható, és utána a kalkulátorral minden más adat kiszámolható.

Ívhossz: i = 2rπ · α / 360° = r · α(rad)

Körcikk területe: T = r²π · α / 360° = r² · α(rad) / 2

Húr hossza: h = 2r · sin(α / 2)

Körszelet területe: T = r² · (α(rad) − sin α) / 2

Ívmagasság: m = r · (1 − cos(α / 2))

A radiános alak azért egyszerűbb, mert a radián definíció szerint az ívhossz és a sugár aránya. Ezért ha a szöget radiánban ismered, az ívhossz egyszerűen sugár szorozva szöggel.

Ha a húr (h) és a sugár ismert, a középponti szög: α = 2 · arcsin(h / 2r). Ezt a szögátváltó vagy egy tudományos számológép segítségével számolhatod ki, majd az eredményt beírhatod ide. A kerület és a terület teljes körre: K = 2rπ, T = r²π; ezeket a kör-kalkulátor adja meg.

Egy 10 cm sugarú körben a középponti szög 60°.

1. Szög radiánban: 60 · π / 180 = π/3 ≈ 1,0472.
2. Ívhossz: 10 · 1,0472 ≈ 10,472 cm.
3. Körcikk területe: 10² · 1,0472 / 2 ≈ 52,36 cm².
4. Húr: 2 · 10 · sin 30° = 10 cm (60°-nál a húr pont a sugárral egyenlő, mert szabályos háromszög jön létre).
5. Körszelet: 100 · (1,0472 − 0,8660) / 2 ≈ 9,06 cm².
6. Ívmagasság: 10 · (1 − cos 30°) ≈ 1,34 cm.

Ellenőrzés: a körcikk (52,36) a körszelet (9,06) és a középponti háromszög (43,30) összege.

• Építőipar, asztalosság: íves ablakok, boltívek, íves lépcsők és korlátok anyaghossza. Ha ismered a húrt (a nyílás szélességét) és az ívmagasságot, a sugár: r = (h²/4 + m²) / (2m).
• Gépészet: szíjhajtás átfogási íve, fogaskerekek, hajlított csövek hossza.
• Kertépítés: íves szegély, kör alakú ágyás egy részének kerítése.
• Közlekedés: egy kanyar középvonalának hossza.
• Pizza és torta: egy szelet kerülete és területe.

Hajlított anyagoknál (például csőnél, lemeznél) mindig a semleges szál sugarával számolj, nem a külső vagy belső sugárral.

Példa a gyakorlatból: egy 120 cm széles íves ajtónyílás ívmagassága 20 cm. A sugár r = (120²/4 + 20²) / (2 · 20) = (3600 + 400) / 40 = 100 cm. A középponti szög 2 · arcsin(60/100) ≈ 73,74°, így az ív hossza kb. 128,7 cm. Ennyi hosszú szegélyléc kell az ívre, a vágási ráhagyás nélkül.

• Átmérő sugár helyett: a képletekben r a sugár. Ha átmérőt írsz be, kétszeres ívhosszt és négyszeres területet kapsz.

• Fok és radián: a radiános képletbe (i = r · α) fokot írva hatalmas hibát kapsz. A kalkulátorban külön választod ki a mértékegységet.

• Húr és ív összekeverése: a húr mindig rövidebb az ívnél; kis szögnél közel egyenlők, 180°-nál a húr az átmérő, az ív pedig a félkör.

• 360°-nál nagyobb szög: egy körben a középponti szög legfeljebb 360° lehet.

• Kerekítés a köztes lépésekben: a π-t 3,14-re kerekítve már 0,05% hibát viszel be; a kalkulátor a teljes pontosságú értékkel számol, csak a kijelzésnél kerekít.