Mátrix kalkulátor lépésekkel

A mátrix kalkulátor (angolul matrix calculator) a lineáris algebra leggyakoribb műveleteit végzi el legfeljebb 6×6-os mátrixokon:

• összeadás és kivonás (A + B, A − B),
• szorzás (A · B) és skalárral szorzás (k · A),
• transzponálás (Aᵀ),
• determináns (det A),
• inverz (A⁻¹),
• rang és sorlépcsős alak (Gauss-elimináció).

A számolás pontos törtekkel történik, nem kerekített tizedesekkel. Ezért az inverzben például 3/5 és −7/10 szerepel, nem 0,6 és −0,7000000001. Ha mégis tizedes alakra van szükséged, egy kapcsolóval átválthatsz.

A determinánsnál, az inverznél és a rangnál a Gauss-elimináció minden sorművelete megjelenik a közbülső mátrixszal együtt, így a levezetést lépésről lépésre követheted.

Két mátrix akkor szorozható össze, ha az első oszlopainak száma megegyezik a második sorainak számával. Egy m×n-es és egy n×p-s mátrix szorzata m×p-s. Az eredmény i. sorának j. eleme az első mátrix i. sorának és a második j. oszlopának skaláris szorzata.

Példa:

Az első elem: 1·5 + 2·7 = 19, a második: 1·6 + 2·8 = 22.

A mátrixszorzás nem felcserélhető: általában A · B ≠ B · A, és előfordul, hogy az egyik szorzat létezik, a másik nem.

A determináns egy négyzetes mátrixhoz rendelt szám. 2×2-es mátrixnál: det [a b; c d] = a·d − b·c. Nagyobb mátrixnál a kalkulátor Gauss-eliminációval felső háromszög alakra hozza a mátrixot; ekkor a determináns a főátló elemeinek szorzata, sorcserénként előjelváltással.

Példa: az A = [6 1 1; 4 −2 5; 2 8 7] mátrixnál két eliminációs lépés után a főátló 6, −8/3 és 153/8, így det A = 6 · (−8/3) · (153/8) = −306.

Az inverz az a mátrix, amellyel A-t megszorozva az egységmátrixot kapjuk. Csak akkor létezik, ha a determináns nem 0. A kalkulátor Gauss–Jordan-eliminációval számol: az [A | E] mátrixot addig alakítja, amíg a bal oldalon egységmátrix lesz, és ekkor a jobb oldal az inverz.

Példa: A = [4 7; 2 6], det A = 4·6 − 7·2 = 10, és

A⁻¹ = [3/5 −7/10; −1/5 2/5].

Ellenőrzés: A · A⁻¹ = E.

A mátrix rangja a lineárisan független sorok (vagy oszlopok) száma. A sorlépcsős alakban ez a nem csupa nulla sorok száma.

Példa: az [1 2 3; 2 4 6; 1 0 1] mátrix második sora az első kétszerese, ezért a rang 2, nem 3, és a determináns 0.

A Gauss-elimináció három megengedett sorművelettel dolgozik:

1. két sor cseréje (S1 ↔ S2),
2. egy sor szorzása nem nulla számmal,
3. egy sor többszörösének hozzáadása egy másik sorhoz (S2 ← S2 − 2 · S1).

Ezek nem változtatják meg a rangot és a megoldáshalmazt. A determinánst a sorcsere előjelben, a sor szorzása szorzóval változtatja, ezért a determinánsnál csak az első és a harmadik műveletet használjuk.

• Sor és oszlop: a mátrix méretét mindig sor × oszlop sorrendben adjuk meg.
• Rossz méret a szorzásnál: ha az első mátrix oszlopszáma nem egyezik a második sorszámával, a szorzat nem értelmezett; a kalkulátor ilyenkor megmondja, mi a gond.
• Kerekítési hibák kézi számolásnál: tizedesekkel számolva könnyű elcsúszni. Törtekkel dolgozz, és csak a végén válts tizedesre.
• Nulla determináns: ha det A = 0, a mátrix szinguláris, nincs inverze, és az A·x = b egyenletrendszernek vagy nincs, vagy végtelen sok megoldása van.
• Üres cella: a kalkulátor 0-nak veszi, így nagy, ritka mátrixnál elég a nem nulla elemeket kitölteni.