Háromszög és Pitagorasz kalkulátor

A háromszög kalkulátor (angolul triangle calculator) bármely háromszöget megold, ha megadod a meghatározásához szükséges három adatot. Négy módot ismer:

• derékszögű háromszög két ismert oldalából a harmadik a Pitagorasz-tétellel;
• három oldalból a szögek a koszinusztétellel;
• két oldalból és a közbezárt szögből a harmadik oldal;
• egy oldalból és a rajta fekvő két szögből a másik két oldal a szinusztétellel.

Az eredmény minden esetben a teljes háromszög: mindhárom oldal és szög, a terület, a kerület, a három magasság, a köré írt és a beírt kör sugara, valamint a típus (hegyes-, derék- vagy tompaszögű; általános, egyenlő szárú vagy szabályos). A háromszög adatait a böngésződ számolja ki, a megadott oldalakat és szögeket nem küldjük el sehova; a lap frissítésével minden mező kiürül.

Derékszögű háromszögben a két befogó négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével:

a² + b² = c²

Példa 1: a befogók 3 és 4 egység. c = √(3² + 4²) = √25 = 5. A terület a · b / 2 = 6, a szögek kb. 36,87° és 53,13°.

Példa 2: az átfogó 10, az egyik befogó 6. A másik befogó b = √(10² − 6²) = √64 = 8.

A gyakorlatban így számolható ki például egy létra hossza (a fal magassága és a talptól mért távolság alapján), egy tetőszerkezet szarufája, vagy egy képernyő átlója. A 3–4–5-ös arányt építkezésen is használják a derékszög kitűzésére.

Ha a háromszög nem derékszögű, két tétel segít:

Koszinusztétel: c² = a² + b² − 2ab · cos γ. Ezzel három oldalból kiszámolhatók a szögek, vagy két oldalból és a közbezárt szögből a harmadik oldal. Például a = 5, b = 7, γ = 60° esetén c = √(25 + 49 − 35) = √39 ≈ 6,245.

Szinusztétel: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R, ahol R a köré írt kör sugara. Ezzel egy oldalból és két szögből a másik két oldal számolható.

A területet a kalkulátor Hérón képletével adja meg: s = (a + b + c) / 2, T = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). A magasságok ebből: mₐ = 2T / a.

Nem minden számhármasból lesz háromszög. A háromszög-egyenlőtlenség szerint bármely két oldal összege nagyobb kell legyen a harmadiknál: 2, 3 és 6 hosszú szakaszokból nem rakható ki háromszög, mert 2 + 3 < 6.

A szögek összege mindig 180°, ezért két szög összege kevesebb kell legyen 180°-nál. Derékszögű háromszögnél az átfogó mindig a leghosszabb oldal.

Ha a beírt adatokból nem jön ki háromszög, a kalkulátor jelzi, melyik feltétel nem teljesül, így könnyen észreveszed az elírást.

• Szabályos (egyenlő oldalú): minden szöge 60°, magassága a · √3 / 2, területe a² · √3 / 4.
• Egyenlő szárú: két oldala és az alapon fekvő két szöge egyenlő.
• Egyenlő szárú derékszögű: szögei 45°, 45°, 90°; átfogója a befogó √2-szerese.
• 30–60–90°-os: a rövidebb befogó az átfogó fele, a hosszabb befogó a rövidebb √3-szorosa.

Ezeket érdemes fejben tartani, mert sok feladat ezekre vezethető vissza, és a kalkulátor eredményét is gyorsan ellenőrizheted velük.

• Derékszögű módban pontosan két mezőt tölts ki, a harmadikat hagyd üresen; a kalkulátor abból számol, ami meg van adva.
• A szögeket fokban add meg; ha radiánban ismered, előbb váltsd át (1 rad ≈ 57,2958°).
• A mértékegység tetszőleges (cm, m), de mindhárom oldalt ugyanabban add meg; a terület ennek négyzetében jön ki.
• A szögek kijelzésnél kerekítettek; ha a három szög összege 180,001°, az csak a kerekítés miatt van.