Kombináció generátor: n elem k-asával

A kombináció azt jelenti, hogy n különböző elemből kiválasztunk k darabot, és a sorrend nem számít. Az {A, B} és a {B, A} ugyanaz a kombináció. Ha a sorrend is számít, az már variáció vagy permutáció, arra a permutáció generátor való.

A kombináció generátor két dolgot ad:

• a kombinációk számát, pontosan, nagy számoknál is (például a lottó 90 számából 5: 43 949 268);
• a kombinációk listáját, soronként egyet, ábécé szerinti (lexikografikus) sorrendben.

Hétköznapi példák: hányféleképpen választhatsz ki 3 pizzafeltétet 8 közül; milyen párosítások lehetségesek egy 6 fős csapatban; hányféle 2 fős ügyeleti beosztás készíthető 5 kollégából; milyen fagylaltgombóc-összeállítások jöhetnek ki 3 gombóccal 10 ízből, ha egy ízből többet is kérhetsz.

Ismétlés nélküli kombináció (minden elem legfeljebb egyszer):

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

Ez a binomiális együttható, „n alatt a k”. Példa: 5 elemből 3: 5! / (3! · 2!) = 120 / (6 · 2) = 10.

Ismétléses kombináció (egy elem többször is választható):

C(n + k − 1, k) = (n + k − 1)! / (k! · (n − 1)!)

Példa: 5 elemből 3, ismétléssel: C(7, 3) = 35.

n	k	Ismétlés nélkül	Ismétléssel
4	2	6	10
5	3	10	35
6	2	15	21
10	3	120	220
45	6	8 145 060	15 890 700
90	5	43 949 268	54 891 018

Az eszköz a darabszámot tetszőlegesen nagy egészekkel, kerekítés nélkül számolja.

Elemek: A, B, C, D, k = 2, ismétlés nélkül. A kombinációk száma C(4, 2) = 6, a lista:

A, B
A, C
A, D
B, C
B, D
C, D

Ugyanez ismétléssel 10 kombinációt ad, mert az AA, BB, CC, DD párok is megengedettek:

A, A
A, B
A, C
A, D
B, B
…
D, D

A kimenet elválasztóját is választhatod: vesszővel olvasható listát, elválasztó nélkül (AB, AC…) tömör kódokat, tabulátorral Excelbe illeszthető táblázatot kapsz. A sorszámozás bekapcsolásával minden sor elé sorszám kerül.

Az elemeket többféleképpen beírhatod, az eszköz alapból felismeri a formát:

• soronként egy elem: hosszabb nevekhez, kifejezésekhez (például csapattagok neve);
• vesszővel elválasztva: A, B, C, D;
• szóközzel elválasztva: 1 2 3 4 5;
• minden karakter egy elem: ABCDE → A, B, C, D, E.

Az ismétlődő elemeket az eszköz összevonja, mert a kombinációban az elemek különbözőek; ha egy elemből több választható, kapcsold be az ismétléses kombinációt. Legfeljebb 200 különböző elemmel és k = 50-nel számol.

A kombinációk száma gyorsan nő. 20 elemből 10 már 184 756 kombináció, a lottónál több tízmillió. Ilyen hosszú listát sem olvasni, sem használni nem lehet, és a böngészőt is lelassítaná. Az eszköz ezért mindig kiírja a pontos darabszámot, de legfeljebb 50 000 kombinációt listáz ki, a többit nem; ilyenkor figyelmeztet is.

Ha csak a darabszám érdekel (például valószínűségszámításhoz), azt mindig pontosan megkapod. A valószínűségek kiszámításához (például mennyi az esélye a telitalálatnak) a valószínűségszámítás kalkulátor ad részletesebb segítséget, a faktoriálisokat pedig a faktoriális kalkulátorral számolhatod ki.

Minden a böngésződben történik, semmi nem kerül fel szerverre.

Iskolai feladatoknál a lista ellenőrzésre is jó: ha a képlettel kiszámolt darabszám és a kilistázott kombinációk száma egyezik, biztos lehetsz benne, hogy jól értelmezted a feladatot. Kis elemszámnál (például 5 elemből 2) érdemes a listát végigolvasni, mert így könnyen látszik, miért nem számít a sorrend, és miért lesz ismétléssel több lehetőség.