Két pont távolsága és felezőpont

A koordinátageometria egyik alapfeladata két pont távolságának és felezőpontjának meghatározása. Ez a kalkulátor két pontból egyszerre számolja ki:

• a két pont távolságát (a szakasz hosszát);
• a szakasz felezőpontját;
• az egyenes meredekségét (angolul slope);
• az egyenes irányszögét az x tengelyhez képest;
• az egyenes egyenletét y = mx + b alakban (függőleges egyenesnél x = állandó).

Negatív és tizedes koordinátákkal is működik, a távolság képletébe helyettesítést is kiírja.

Iskolában a koordinátageometria témakörénél, érettséginél és felvételinél gyakran kell ezeket a mennyiségeket kiszámolni, és a hibák többsége egyszerű előjel- vagy sorrendtévesztés. A kalkulátor ezért nemcsak az eredményt adja meg, hanem a Δx és Δy különbségeket is, így a saját számolásodat lépésenként össze tudod vetni vele.

Két pont, A(x₁; y₁) és B(x₂; y₂) távolsága a Pitagorasz-tételből adódik, mert a két pont közötti vízszintes és függőleges eltérés egy derékszögű háromszög két befogója:

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Példa: A(1; 2) és B(4; 6).

1. Δx = 4 − 1 = 3, Δy = 6 − 2 = 4.
2. d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

A sorrend nem számít: B-ből A-ba ugyanannyi a távolság, mert a különbségeket négyzetre emeljük.

A felezőpont koordinátái a végpontok koordinátáinak átlagai:

F = ((x₁ + x₂) / 2; (y₁ + y₂) / 2)

Az előző példában F = (2,5; 4).

A meredekség azt mutatja, mennyit emelkedik az egyenes, ha egy egységet lépünk jobbra:

m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Itt m = 4/3 ≈ 1,333. Pozitív meredekségnél az egyenes emelkedik, negatívnál csökken, nullánál vízszintes. Ha x₁ = x₂, az egyenes függőleges, és a meredekség nem értelmezett.

Az egyenes egyenlete: y = m · x + b, ahol b = y₁ − m · x₁. A példában b = 2 − 4/3 = 2/3, tehát y = 1,333x + 0,667.

Merőleges és párhuzamos egyenesek: két egyenes párhuzamos, ha a meredekségük egyenlő, és merőleges, ha a meredekségek szorzata −1. A példabeli egyenesre (m = 4/3) merőleges egyenes meredeksége −3/4. Ebből a szakasz felezőmerőlegese is felírható: átmegy a felezőponton, és a meredeksége −3/4.

Az irányszög az egyenes és a pozitív x tengely által bezárt szög: tg α = m. A példában α ≈ 53,13°.

Gyakorlati alkalmazások:

• Térképek, alaprajzok: két pont távolsága egy koordinátákkal megadott rajzon (például méretarányos alaprajzon).
• Lejtés, emelkedés: a meredekség százalékban kifejezve (m · 100) adja az út vagy a rámpa emelkedését. Egy 8%-os emelkedő 100 méteren 8 métert emelkedik.
• Grafikai programok, játékok: két objektum távolsága, mozgás iránya.

Földrajzi koordinátáknál (fokokban megadott szélesség, hosszúság) ez a képlet nem pontos, mert a Föld görbült; ott más (gömbi) számítás kell.

• Kivonás sorrendje: a meredekségnél a számlálóban és a nevezőben ugyanabban a sorrendben kell kivonni (y₂ − y₁ és x₂ − x₁), különben ellentétes előjelet kapsz.

• Negatív koordináták: a (−2) − 3 = −5, nem −1. A kalkulátor ezt automatikusan helyesen kezeli.

• Felezőpontnál kivonás: a felezőpont az összeg fele, nem a különbség fele.

• Négyzetgyök elfelejtése: a távolság a négyzetösszeg gyöke, nem maga a négyzetösszeg.

• Kerekítés: a távolság gyakran irracionális szám (például √2 ≈ 1,414). Ha a feladat pontos értéket kér, hagyd gyökjel alatt, és csak a végén kerekíts.

Három dimenzióban ugyanez a logika működik, csak egy harmadik tag jön be: d = √(Δx² + Δy² + Δz²). Egy 3 × 4 × 12-es téglatest testátlója például √(9 + 16 + 144) = 13. Ez a kalkulátor síkbeli (kétdimenziós) pontokkal számol; a térbeli esetben a fenti képletet használd.