Hogyan használd?
- Írd be a felbontandó pozitív egész számot (2-től).
- Olvasd le a prímtényezős alakot hatványokkal.
- Nézd meg az osztásos levezetést és az osztók számát.
Mi a prímtényezős felbontás?
A prímtényezős felbontás azt jelenti, hogy egy összetett számot prímszámok szorzataként írunk fel. A számelmélet alaptétele szerint minden 1-nél nagyobb egész szám egyértelműen (a sorrendtől eltekintve) felírható így. Például:
360 = 2³ · 3² · 5
A prímszám olyan 1-nél nagyobb egész, amelynek pontosan két osztója van: 1 és önmaga (2, 3, 5, 7, 11, 13 …). A 2 az egyetlen páros prím. Az 1 nem prím és nem is összetett szám.
A kalkulátor 10¹⁵-ig bármely egész számot felbont, a tényezőket hatványalakban írja ki, megmutatja a hagyományos osztásos levezetést, az osztók számát, és megmondja, hogy a szám prím-e.
Osztásos levezetés lépésről lépésre
Iskolában a felbontást egy függőleges vonal mellett végezzük: bal oldalra a szám kerül, jobbra a legkisebb prím, amellyel osztható, majd a hányadossal folytatjuk.
Példa: 360
| Szám | Prímosztó |
|---|---|
| 360 | 2 |
| 180 | 2 |
| 90 | 2 |
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
A jobb oszlop szorzata: 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2³ · 3² · 5. A kalkulátor ugyanezt a táblázatot rajzolja ki, így a füzetbe is átmásolhatod.
Tipp: elég a szám négyzetgyökéig próbálkozni. Ha addig nincs osztó, a maradék szám prím.
Oszthatósági szabályok gyors ellenőrzéshez
Fejben számoláskor ezek a szabályok segítenek gyorsan megtalálni a prímosztókat:
| Osztó | Szabály | Példa |
|---|---|---|
| 2 | az utolsó számjegy páros | 1 234 |
| 3 | a számjegyek összege osztható 3-mal | 4 512 (4+5+1+2 = 12) |
| 5 | 0-ra vagy 5-re végződik | 1 235 |
| 7 | az utolsó jegy kétszeresét kivonva a többiből 7-tel osztható számot kapunk | 343: 34 − 6 = 28 |
| 11 | a váltakozó előjelű jegyösszeg osztható 11-gyel | 2 728: 2−7+2−8 = −11 |
| 13 | a szám tízeseinek számához hozzáadva az utolsó jegy négyszeresét 13-mal osztható számot kapunk | 169: 16 + 36 = 52 |
Ha egyik sem jön be, próbáld a 17-et, 19-et, 23-at és így tovább, egészen a szám négyzetgyökéig.
Mire használható a felbontás?
A prímtényezős felbontás sok más számítás alapja:
- Legnagyobb közös osztó (lnko): a közös prímtényezők a legkisebb kitevőn. 360 = 2³ · 3² · 5 és 84 = 2² · 3 · 7, ezért lnko = 2² · 3 = 12.
- Legkisebb közös többszörös (lkkt): minden előforduló prím a legnagyobb kitevőn: 2³ · 3² · 5 · 7 = 2520.
- Törtek egyszerűsítése: 360/84 = (2³ · 3² · 5) / (2² · 3 · 7) = 30/7.
- Osztók száma: a kitevőket eggyel növelve összeszorozzuk. 360 esetén (3+1)(2+1)(1+1) = 24 osztó.
- Négyzetgyök egyszerűsítése: √360 = √(2² · 3² · 2 · 5) = 6√10.
A kriptográfiában (például az RSA titkosításban) éppen az a lényeg, hogy nagyon nagy számok prímtényezős felbontása a mai számítógépekkel is rendkívül lassú.
Gyakori hibák
- Nem prímmel osztasz: a 4, 6, 9 nem prím, ezekkel nem szabad osztani a levezetésben; előbb mindig a legkisebb prímet próbáld.
- Az 1-et tényezőnek írod: az 1 nem prím, a felbontásba nem kerül bele.
- Kimarad az utolsó tényező: ha a négyzetgyökig nem találtál osztót, a megmaradt szám maga is prím, és bele kell írni a felbontásba.
- Hatványalak: a 2 · 2 · 2 helyett 2³ írandó; a kalkulátor automatikusan összevonja az ismétlődő tényezőket.
Prímszámok 100-ig
A 100 alatti 25 prímszám: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Érdemes ezeket fejből tudni, mert 10 000 alatti számok felbontásához elég a 100 alatti prímekkel próbálkozni (hiszen √10 000 = 100). Ha egy szám egyikkel sem osztható, akkor ő maga prím. A kalkulátor nagy számoknál is ezt az elvet követi, csak sokkal gyorsabban.
Gyakori kérdések
Prím-e az 1?
Nem. A prímszámnak pontosan két különböző osztója van, az 1-nek csak egy.
Mekkora számot tud felbontani?
10¹⁵-ig bármely pozitív egész számot; a levezetési táblázatot 10¹²-ig rajzolja ki.
Hogyan számolom ki az osztók számát?
A prímtényezős alak kitevőit eggyel növelve összeszorozzuk: 2³ · 3² · 5 esetén 4 · 3 · 2 = 24.
Miért egyértelmű a felbontás?
A számelmélet alaptétele szerint minden 1-nél nagyobb egész szám a tényezők sorrendjétől eltekintve egyféleképpen bontható prímek szorzatára.
Mire jó a prímtényezős felbontás?
Az lnko és az lkkt kiszámítására, törtek egyszerűsítésére, gyökök egyszerűsítésére és az osztók megkeresésére.
A negatív számokat is felbontja?
A felbontás pozitív egészekre értelmezett; negatív számnál a −1 szorzót külön kell kezelni.
Utoljára módosítva: 2026. november 3.