Valószínűség számítás és kombinatorika kalkulátor

A kombinatorika azt vizsgálja, hányféleképpen lehet elemeket kiválasztani vagy sorba rendezni. Erre épül a valószínűség számítás: ha tudjuk, hány eset lehetséges és hány kedvező, a hányadosuk a valószínűség.

A kalkulátor öt feladattípust ismer:

• kombináció (a sorrend nem számít), például lottószelvény;
• variáció (a sorrend számít), például dobogós helyezések;
• permutáció (minden elem sorbarendezése), azonos elemekkel is;
• binomiális eloszlás (k siker n kísérletből);
• klasszikus valószínűség (kedvező / összes eset).

Az eredményt pontosan, egész számként adja meg nagy értékeknél is (például 90 alatt az 5 = 43 949 268), mert tetszőleges hosszúságú egész aritmetikával számol.

Iskolai feladatokhoz, társasjátékok és szerencsejátékok esélyeinek megértéséhez, valamint statisztikai előkészítő számításokhoz is jól használható. A kombinatorikai módokban a használt képletet is kiírja, így nemcsak az eredményt látod, hanem azt is, miért annyi.

Két kérdés dönti el a képletet: számít-e a sorrend, és ismétlődhet-e egy elem.

	Sorrend számít	Sorrend nem számít
Ismétlés nélkül	variáció: n! / (n − k)!	kombináció: n! / (k!(n − k)!)
Ismétléssel	ismétléses variáció: nᵏ	ismétléses kombináció: (n + k − 1)! / (k!(n − 1)!)

Permutáció: ha mind az n elemet sorba rendezzük, n! lehetőség van. Ha vannak azonos elemek (csoportok mérete k₁, k₂, …), akkor n! / (k₁! · k₂! · …).

Példák: egy 4 jegyű PIN-kód 10⁴ = 10 000-féle lehet (ismétléses variáció); egy 10 fős versenyen a dobogó 10 · 9 · 8 = 720-féleképpen alakulhat (variáció); a MAMA szó betűiből 4! / (2! · 2!) = 6 különböző szó rakható ki (ismétléses permutáció).

A lottóhúzásnál a sorrend nem számít, és egy szám csak egyszer húzható ki, ezért kombinációt kell számolni.

Játék	Képlet	Lehetséges kombinációk
Ötöslottó (90-ből 5)	C(90, 5)	43 949 268
Hatoslottó (45-ből 6)	C(45, 6)	8 145 060
Skandináv lottó (35-ből 7)	C(35, 7)	6 724 520

Egyetlen szelvénnyel tehát az ötöslottó telitalálatának esélye 1 : 43 949 268. A kalkulátorban a lottógombokkal egy kattintással betöltheted ezeket. (A nyereményosztályok szabályait a játék hivatalos leírásából nézd meg; itt csak a kombinációk száma szerepel.)

Ha egy kísérlet sikerének valószínűsége p, és n-szer függetlenül megismételjük, annak valószínűsége, hogy pontosan k-szor sikerül:

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

Példa: 10 pénzfeldobásból pontosan 3 fej (p = 0,5).

1. C(10, 3) = 120.
2. 0,5³ · 0,5⁷ = 0,5¹⁰ = 1/1024.
3. P = 120 / 1024 ≈ 11,72%.

A kalkulátor a „legfeljebb k” és „legalább k” valószínűséget is kiírja, valamint a várható értéket (n · p). Nagy n-nél is pontos marad, mert logaritmusokkal számol, így nem csordul túl.

A klasszikus valószínűség: P = kedvező esetek / összes eset, ha minden eset egyformán valószínű. Egy kockával hatost dobni 1/6 ≈ 16,67% eséllyel lehet; az ellentett esemény (nem hatos) 5/6.

Gyakori tévedések:

• A szerencsejátékos tévedése: ha ötször egymás után fej jött ki, a következő dobásnál a fej esélye továbbra is 50%. A dobások függetlenek.
• Esély és valószínűség összekeverése: az 1/6 valószínűség esélyként (odds) 1 : 5, vagyis egy kedvező eset jut öt kedvezőtlenre.
• Kombináció helyett variáció: ha egy 3 fős bizottságot választasz, a sorrend nem számít; ha elnököt, titkárt és pénztárost, akkor igen.

A képletekben szereplő n! (n faktoriális) az 1-től n-ig terjedő egészek szorzata: 5! = 120, 10! = 3 628 800. A faktoriális nagyon gyorsan nő: már a 20! is 19 jegyű.

A kalkulátor ezért nem lebegőpontos, hanem pontos egész aritmetikát használ, és a nagyon hosszú eredményt normál alakban is kiírja. Így egy 52 lapos pakli keverési lehetőségeit (52! ≈ 8,07 · 10⁶⁷) is pontosan megkapod.