Hogyan használd?
- Válaszd ki, hány ismeretlened (és egyenleted) van, 2-től 6-ig.
- Írd be soronként az egyenletek együtthatóit, az utolsó oszlopba a jobb oldalt.
- Ellenőrizd a táblázat alatt kiírt egyenleteket, hogy jól vitted-e fel.
- Olvasd le a megoldást, és nyisd le a lépéseket a levezetéshez.
Mit old meg az egyenletrendszer megoldó?
Az egyenletrendszer megoldó lineáris egyenletrendszereket old meg, vagyis olyanokat, amelyekben az ismeretlenek csak első hatványon, szorzás nélkül szerepelnek, például:
2x + y − z = 8 −3x − y + 2z = −11 −2x + y + 2z = −3
Az együtthatókat táblázatba írod: minden sor egy egyenlet, az utolsó oszlop a jobb oldal. A megoldó Gauss–Jordan-eliminációval dolgozik, pontos törtekkel, így nincs kerekítési hiba.
Az eredményből az is kiderül, milyen a rendszer:
- egyértelmű megoldás: minden ismeretlennek egy értéke van,
- nincs megoldás: az egyenletek ellentmondanak egymásnak,
- végtelen sok megoldás: valamelyik ismeretlen szabadon választható, a többi ennek függvényében adódik.
Egyértelmű megoldásnál a kalkulátor vissza is helyettesít, és jelzi, hogy minden egyenlet teljesül.
A Gauss-elimináció lépésről lépésre
A módszer a bővített mátrixot alakítja sorműveletekkel, amíg a megoldás leolvasható nem lesz.
Példa:
2x + 3y = 7 x − y = 1
A bővített mátrix: [2 3 | 7; 1 −1 | 1].
- S1 ← (1/2) · S1, hogy a főelem 1 legyen: [1 3/2 | 7/2; 1 −1 | 1].
- S2 ← S2 − S1: [1 3/2 | 7/2; 0 −5/2 | −5/2].
- S2 ← (−2/5) · S2: [1 3/2 | 7/2; 0 1 | 1].
- S1 ← S1 − (3/2) · S2: [1 0 | 2; 0 1 | 1].
A megoldás: x = 2, y = 1. Ellenőrzés: 2·2 + 3·1 = 7 és 2 − 1 = 1.
A fenti háromismeretlenes rendszer ugyanígy hat lépésben oldható meg, a megoldása x = 2, y = 3, z = −1.
Mikor nincs egyértelmű megoldás?
A döntő kérdés az együtthatómátrix (A) és a bővített mátrix (A | b) rangja.
| Eset | Feltétel | Mit jelent |
|---|---|---|
| Egy megoldás | rang(A) = rang(A | b) = ismeretlenek száma | minden ismeretlen meghatározott |
| Nincs megoldás | rang(A) < rang(A | b) | ellentmondás, például 0 = 1 |
| Végtelen sok | rang(A) = rang(A | b) < ismeretlenek száma | van szabad ismeretlen |
Ellentmondásos példa: x + y = 1 és 2x + 2y = 3. A második egyenletből az első kétszeresét kivonva 0 = 1 marad, ezért nincs megoldás.
Végtelen sok megoldás: x + y + z = 3 és 2x + 2y + 2z = 6. A második az első kétszerese, így csak egy valódi feltétel marad. Ha y = t és z = s tetszőleges, akkor x = 3 − t − s. A kalkulátor a szabad ismeretleneket t, s, r … paraméterekkel jelöli.
Más megoldási módszerek
- Behelyettesítés: az egyik egyenletből kifejezed az egyik ismeretlent, és beírod a többibe. Két ismeretlennél gyors, többnél hosszadalmas.
- Egyenlő együtthatók módszere: az egyenleteket úgy szorzod, hogy egy ismeretlen együtthatója megegyezzen, majd kivonod őket egymásból. Ez valójában a Gauss-elimináció kézi változata.
- Cramer-szabály: négyzetes rendszernél, ha a determináns nem 0, minden ismeretlen két determináns hányadosa. Kis rendszernél szép, nagyobbnál sok a számolás.
- Inverz mátrix: x = A⁻¹·b, ha A invertálható. A mátrix kalkulátorunkkal az inverz is kiszámolható.
A Gauss-elimináció azért népszerű, mert minden esetben működik, és az is kiderül belőle, ha nincs vagy végtelen sok megoldás van.
Tippek a bevitelhez
- Hiányzó ismeretlen: ha egy egyenletben nem szerepel például a z, írj a helyére 0-t.
- Átrendezés: minden ismeretlent vigyél a bal oldalra, a számokat a jobb oldalra. A 2x = 5 − y egyenletből így 2x + y = 5 lesz.
- Negatív számok és törtek: beírhatsz −3-at, 2,5-öt vagy 1/3-ot is.
- Ellenőrzés: a táblázat alatt a kalkulátor kiírja az egyenleteket abból, amit bevittél. Vesd össze az eredeti feladattal, mielőtt a megoldással dolgozol.
- Szöveges feladatok: először nevezd el az ismeretleneket (x = az egyik termék darabszáma …), és csak utána írd fel az egyenleteket.
Gyakori kérdések
Hány ismeretlenes rendszert tudok megoldani?
2-től 6 ismeretlenig, ugyanannyi egyenlettel.
Mit jelent a determináns?
Négyzetes rendszernél ha az együtthatómátrix determinánsa nem 0, a megoldás egyértelmű. Ha 0, akkor vagy nincs megoldás, vagy végtelen sok van.
Törtekkel és negatív számokkal is működik?
Igen. A bevitelnél és az eredményben is pontos törtek szerepelnek, mellettük a tizedes közelítés.
Mi az a bővített mátrix?
Az együtthatómátrix, amelynek utolsó oszlopa a jobb oldali számokból áll. A lépésekben ezt egy függőleges vonal választja el.
Mit jelent a t és az s a megoldásban?
Végtelen sok megoldásnál ezek szabadon választható paraméterek: bármilyen valós számot írsz be helyettük, egy megoldást kapsz.
Nemlineáris egyenletrendszert is megold?
Nem, csak lineárisat. Ha az ismeretlenek szorzata vagy hatványa is szerepel, más módszer kell.
Utoljára módosítva: 2026. november 3.