Logaritmus kalkulátor

A logaritmus a hatványozás egyik fordított művelete. A „b alapú logaritmus x” (log_b x) azt a kitevőt adja meg, amelyre b-t emelve x-et kapunk:

log_b x = y, ha bʸ = x

Például log₂ 8 = 3, mert 2³ = 8, és lg 1000 = 3, mert 10³ = 1000.

A logaritmus csak pozitív számra értelmezett, és az alap is pozitív, de nem lehet 1. Ezt a kalkulátor ellenőrzi, és szól, ha a bemenet nem megengedett.

Ez a logaritmus kalkulátor (angolul log calculator) bármilyen alappal számol, az eredményt visszahatványozva ellenőrzi, és egyszerre kiírja a három leggyakoribb logaritmust is. Az egész eredményeket (például log₂ 1024 = 10) kerekítési zaj nélkül, pontosan adja meg.

Három alap fordul elő a legtöbbször:

• lg x (10-es alapú, tízes logaritmus): a mérnöki és iskolai gyakorlat alapja; a decibel, a pH és a Richter-skála is erre épül.
• ln x (természetes logaritmus, e ≈ 2,71828 alapú): a matematikai analízisben, a folytonos kamatozásnál és a növekedési, bomlási folyamatoknál használjuk.
• log₂ x (kettes alapú): az informatikában fontos, például megmondja, hány bit kell egy szám tárolásához, vagy hány felezés kell egy rendezett lista átkereséséhez.

Számológépeken általában csak lg és ln van. Más alapot az alapcsere-képlettel számolhatsz: log_b x = ln x / ln b = lg x / lg b. A kalkulátor ezt automatikusan elvégzi.

A logaritmus legfontosabb azonosságai:

• log_b(x · y) = log_b x + log_b y
• log_b(x / y) = log_b x − log_b y
• log_b(xⁿ) = n · log_b x
• log_b b = 1 és log_b 1 = 0

Példa: számoljuk ki log₃ 50 értékét.

1. Alapcsere: log₃ 50 = ln 50 / ln 3.
2. ln 50 ≈ 3,91202, ln 3 ≈ 1,09861.
3. Hányados: 3,91202 / 1,09861 ≈ 3,5609.
4. Ellenőrzés: 3^3,5609 ≈ 50.

Az eredmény azt jelenti, hogy a 3-at kb. 3,56-odik hatványra kell emelni, hogy 50-et kapjunk. Mivel 3³ = 27 és 3⁴ = 81, valóban 3 és 4 közé kell esnie.

A logaritmus leggyakoribb iskolai és gyakorlati haszna az exponenciális egyenletek megoldása, amikor az ismeretlen a kitevőben van.

Példa: hány év alatt duplázódik meg a pénz évi 5%-os kamattal? Az 1,05ⁿ = 2 egyenletből n = log₁,₀₅ 2 = ln 2 / ln 1,05 ≈ 14,2 év. A kalkulátorban számnak 2-t, alapnak 1,05-öt írj be.

Példa: egy anyag felezési ideje 8 nap. Mennyi idő alatt csökken a mennyisége a tizedére? (1/2)ⁿ = 0,1, így n = log₀,₅ 0,1 ≈ 3,32 felezési idő, azaz kb. 26,6 nap.

Ugyanígy számolható, hány év alatt éri el egy megtakarítás a célösszeget, vagy hány lépésben csökken egy érték egy adott szint alá.

Sok mérőskála logaritmikus, mert az emberi érzékelés és a természeti jelenségek is nagyon nagy tartományokat fognak át:

• Hangerő (decibel): +10 dB tízszeres hangteljesítményt jelent; a +3 dB nagyjából a duplája.
• pH-érték: a pH = −lg[H⁺]; a pH 4-es oldat tízszer savasabb, mint a pH 5-ös.
• Földrengések (magnitúdó): egy egységnyi növekedés kb. 32-szer több felszabaduló energiát jelent.
• Csillagászat (magnitúdó): öt fényrend különbség pontosan százszoros fényességkülönbség.

Ezért hasznos érteni, hogy a logaritmikus skálán az egyenlő lépések egyenlő arányokat, nem pedig egyenlő különbségeket jelentenek.

• Negatív szám vagy nulla logaritmusa: a valós számok között nem létezik; az lg 0 a mínusz végtelen felé tart.
• lg és ln összekeverése: egyes könyvek és programok a „log” jelet a 10-es, mások a természetes logaritmusra használják. A kalkulátor mindkettőt külön kiírja.
• log(x + y) ≠ log x + log y: a szorzatból lesz összeg, nem az összegből.
• Kerekítés túl korán: ha a részeredményeket erősen kerekíted, a végeredmény jelentősen eltérhet; számolj végig teljes pontossággal.