Hogyan használd?
- Írd be a számokat, amelyeknek a legkisebb közös többszörösét keresed.
- Kettőnél több számnál add hozzá a többit is.
- Kattints a számításra.
- Olvasd le az eredményt és a lépéseket.
Mi a legkisebb közös többszörös?
A legkisebb közös többszörös (röviden LKKT, jelölése általában [a; b]) az a legkisebb pozitív egész szám, amely mindegyik megadott számmal maradék nélkül osztható. A 12 többszörösei 12, 24, 36, 48…, a 18 többszörösei 18, 36, 54…, az első közös érték a 36, tehát [12; 18] = 36.
Mire használod?
- törtek közös nevezőre hozása: az 5/12 + 7/18 összeadásához a legkisebb közös nevező 36,
- ismétlődő események: mikor esik újra egybe két különböző ütemben ismétlődő dolog,
- csomagolási, szervezési feladatok: hány darab kell ahhoz, hogy több különböző csomagméretből is kijöjjön maradék nélkül.
Minden a böngésződben történik, a beírt adat nem kerül fel szerverre.
A legkisebb közös többszörös mindig legalább akkora, mint a legnagyobb megadott szám, és legfeljebb akkora, mint a számok szorzata. Ha az eredményed ezen a tartományon kívül esik, érdemes újraszámolni.
1. módszer: prímtényezős felbontás
Bontsd fel a számokat prímtényezőkre, majd vedd az összes előforduló prímtényezőt a legnagyobb kitevőn, és szorozd össze őket.
Kidolgozott példa: [12; 18]
- 12 = 2² × 3
- 18 = 2 × 3²
- Az előforduló prímek: 2 (legnagyobb kitevő 2) és 3 (legnagyobb kitevő 2).
- LKKT = 2² × 3² = 4 × 9 = 36
Három szám: [4; 6; 10]
| Szám | Prímtényezős alak |
|---|---|
| 4 | 2² |
| 6 | 2 × 3 |
| 10 | 2 × 5 |
Az előforduló prímek: 2 (legnagyobb kitevő 2), 3 és 5. LKKT = 2² × 3 × 5 = 60.
Ellenőrzés: 60 / 4 = 15, 60 / 6 = 10, 60 / 10 = 6, mindegyik egész.
2. módszer: képlet a legnagyobb közös osztóval
Két pozitív egész számra igaz, hogy a legkisebb közös többszörös és a legnagyobb közös osztó szorzata megegyezik a két szám szorzatával. Ebből:
LKKT(a; b) = a × b / LNKO(a; b)
Kidolgozott példa: [12; 18]
- LNKO(12; 18) = 6.
- LKKT = 12 × 18 / 6 = 216 / 6 = 36.
Másik példa: [15; 20]
- LNKO(15; 20) = 5.
- LKKT = 15 × 20 / 5 = 60.
Ez a módszer nagyobb számoknál gyorsabb, mert az LNKO az euklideszi algoritmussal könnyen kiszámolható. Kettőnél több számnál lépésenként haladj: [4; 6; 10] = [[4; 6]; 10] = [12; 10] = 60.
Hasznos szabályok:
- ha a két szám relatív prím (LNKO = 1), az LKKT a szorzatuk: [7; 9] = 63,
- ha az egyik szám osztja a másikat, az LKKT a nagyobb szám: [6; 24] = 24.
Szöveges feladatok kidolgozva
1. Buszindulás. Egy megállóból az egyik busz 12 percenként, a másik 18 percenként indul. Reggel 8:00-kor egyszerre indultak. Mikor indulnak legközelebb egyszerre?
- [12; 18] = 36, tehát 36 perc múlva, 8:36-kor.
2. Közös nevező. Számold ki: 5/12 + 7/18.
- Legkisebb közös nevező: [12; 18] = 36.
- 5/12 = 15/36, 7/18 = 14/36.
- Összeg: 29/36.
3. Csomagolás. Pohárból 6-os, 8-as és 9-es csomag létezik. Legalább hány pohár kell, hogy bármelyik csomagmérettel maradék nélkül el lehessen csomagolni?
- [6; 8; 9] = 2³ × 3² = 72 pohár.
4. Futópálya. Az egyik futó 6, a másik 10 perc alatt tesz meg egy kört. Ha egyszerre indulnak a rajtvonaltól, [6; 10] = 30 perc múlva lesznek ismét együtt a rajtnál.
Gyakori hibák
- Egyszerű szorzás az LKKT helyett. A 12 × 18 = 216 közös többszörös, de nem a legkisebb. Közös nevezőnek is használható, csak nagyobb számokkal kell dolgozni, és több egyszerűsítés jön a végén.
- Kimaradó prímtényező. Az LKKT-ba minden olyan prím bekerül, amely bármelyik számban szerepel, nem csak a közösek.
- Kisebb kitevő választása. Az LKKT-nál a legnagyobb kitevő kell. A legkisebb kitevő az LNKO-hoz tartozik.
- LKKT és LNKO összekeverése. Az LKKT sosem kisebb a legnagyobb megadott számnál, az LNKO sosem nagyobb a legkisebbnél. Ha az eredmény nem ilyen, valami elcsúszott.
- Ellenőrzés elmaradása. Oszd el az eredményt minden megadott számmal: ha mindegyik egész, jó az LKKT.
LKKT gyorsan: kis számok táblázata és fogaskerekek
Néhány gyakran előforduló számpár legkisebb közös többszöröse, amelyet érdemes fejből tudni vagy gyorsan ellenőrizni:
| Számok | LNKO | LKKT |
|---|---|---|
| 2 és 3 | 1 | 6 |
| 4 és 6 | 2 | 12 |
| 6 és 8 | 2 | 24 |
| 6 és 10 | 2 | 30 |
| 8 és 12 | 4 | 24 |
| 12 és 18 | 6 | 36 |
| 15 és 20 | 5 | 60 |
Érdekesség: az 1-től 10-ig terjedő egész számok legkisebb közös többszöröse 2520, ez a legkisebb szám, amely mind a tíz számmal maradék nélkül osztható.
Fogaskerekek. Két egymásba kapcsolódó fogaskerék közül az egyiknek 12, a másiknak 18 foga van. Hány fog elhaladása után kerülnek vissza a kiinduló helyzetbe?
- [12; 18] = 36 fog, ekkor a kisebb kerék 36 / 12 = 3, a nagyobb 36 / 18 = 2 teljes fordulatot tett.
Ismétlődő teendők. Ha az egyik feladat 4 naponta, a másik 6 naponta, a harmadik 10 naponta ismétlődik, és ma mindhárom esedékes, legközelebb [4; 6; 10] = 60 nap múlva esnek ismét ugyanarra a napra.
Gyakori kérdések
Mi a legkisebb közös többszörös?
Az a legkisebb pozitív egész szám, amely minden megadott számmal maradék nélkül osztható. Például [12; 18] = 36.
Hogyan számolom ki prímtényezős felbontással?
Bontsd prímtényezőkre a számokat, és szorozd össze az összes előforduló prímet a legnagyobb kitevőjén.
Van képlet a legkisebb közös többszörösre?
Két számra igen: LKKT = a × b / LNKO. Például 12 × 18 / 6 = 36.
Miért fontos a törteknél?
A törtek közös nevezője a nevezők legkisebb közös többszöröse, így a legkisebb számokkal tudsz összeadni és kivonni.
Mi az LKKT, ha a két szám relatív prím?
A két szám szorzata. Például [7; 9] = 63, mert a 7-nek és a 9-nek nincs 1-nél nagyobb közös osztója.
Több szám legkisebb közös többszörösét is ki tudom számolni?
Igen, lépésenként: [4; 6; 10] = [[4; 6]; 10] = [12; 10] = 60.
Hova kerülnek a beírt számok?
Sehova. A számítás a böngésződben történik, az adat nem kerül fel szerverre.
Utoljára módosítva: 2026. november 2.